martedì, giugno 13, 2006

I numeri cugini

Ecco un nuovo enigma matematico:

"Trovare un numero intero tale che spostando la prima cifra dopo l'ultima si ottenga la meta’ esatta del numero dato"

Per esempio se prendo il numero 631 e sposto la prima cifra dopo l'ultima ottengo 316 che è molto vicino alla metà di 631 ma non uguale. Ora a voi, trovate la soluzione e se siete veramente bravi, descrivete anche un procedimento matematico per ricavarla.

14 commenti:

Ludovica ha detto...

210.526.315.789.473.684, vero? Perchè 210.526.315789.473.684:2=105.263.157.894.736.842, a meno credo..ho usato parecchie volte la calcolatrice di Windows, e mi è uscito questo risultato.

Anonimo ha detto...

x ludovica come hai scoperto che era quello il numero giusto?

Ludovica ha detto...

Prima di mettere sul blog questo rompicapo, Aquarius(Astronomo) l'ha messo sul forum. L'ho visto subito, così ho provato. All'inizio avevo detto che era un numero di due cifre, e lui mi ha detto che era molto più lungo di due cifre...e dopo vari tentativi gli ho chiesto quante erano le cifre. Lui mi ha risposto che erano 18, così ho fatto varie volte l'operazione su un foglio, con un numero di 18 cifre. All'inizio me n'è uscito uno, ma la metà era sbagliata, però c'erano alcuni numeri giusti. Così, continuando con quei numeri, ho fatto qualche passo avanti, e sono arrivata fino alla tredicesima cifra. Oggi ho usato la calcolatrice di Windows per le ultime cinque cifre, e dopo tantissimi tentativi è uscito il numero desiderato. Se vuoi capire meglio, visita il forum nella sezione Nuovi giochi, poi vai a Importante: nuovi enigmi e vai verso la fine della seconda pagina, fino alla quarta pagina.

Aquarius ha detto...

La soluzione di Ludovica è giusta, ce ne sono anche altre, ad esempio il numero 105.263.157.894.736.842 che è la metà di 210.526.315.789.473.684 è anch'esso una soluzione, infatti spostando l'1 si ottiene 52.631.578.947.368.421 che è la sua metà.
Ludovica ci è arrivata per tentativi, è un lavoro lungo e laborioso (complimenti!) ma c'è anche un procedimento matematico che con pochi passaggi permette di ricavare la soluzione. Non è complicato, basta conoscere le equazioni e le potenze ed avere un po' di intuito. Vi sfido a trovarlo!

Ludovica ha detto...

Io ho usato questo metodo per trovare la risposta: numero-metà-metà etc. Insomma, ad ogni numero dobbiamo mettere la metà, e nel maggiore dei casi dobbiamo metterci anche la decina. Infatti, se ci fate caso: 2-1(metà di 2)-0(metà di 1)-5(metà di 10(zero con la decina)-2(metà di 5 con il resto di 1)etc. Io ho usato questo criterio, non so se è quello giusto.

Aquarius ha detto...

Brava questo è proprio uno dei metodi, si divide per due e si aggiunge la decina quando la divisione precedente ha dato un risultato non intero.
Ecco un esempio partendo da 2:
2/2 = 1 -> 21
1/2 = 0.5 -> 210
per la divisione successiva aggiungo la decina perchè il risultato non è intero
10/2 = 5 -> 2105
5/2 = 2,5 -> 21052
12/2 = 6 -> 210526
6/2 = 3 -> 2105263
3/2 = 1,5 -> 21052631
11/2 = 5,5 -> 210526315
15/2 = 7,5 -> 2105263157
17/2 = 8,5 -> 21052631578
18/2 = 9 -> 210526315789
9/2 = 4,5 -> 2105263157894
14/2 = 7 -> 210526315789473
7/2 = 3,5 -> 21052631578947
13/2 = 6,5 -> 2105263157894736
16/2 = 8 -> 21052631578947368
8/2 = 4 -> 210526315789473684
4/2 = 2 -> stop
C'è però un metodo più rapido ed elegante per giungere allo stesso risultato.

Anonimo ha detto...

Il primo numero è il doppio del secondo, quindi, in base decimale, si può scrivere:
a0*10^0 + a1*10^1 + ... + an*10^n = 2(an*10^0 + a0*10^1 + ... + a(n-1)*10^n); (a0 – 2an)*10^0 + (a1 – 2a0)*10^1 + … + (an – 2a(n-1))*10^n = 0; da qui si nota che i coefficienti (a0 – 2an), (a1 – 2a0), ..., (an – 2a(n-1)) devono essere zero; quanto esce fuori è un sistema di n equazioni ed n incognite facilmente risolvibile, ad esempio: a0 = 2an, a1 = 4an, ..., a(n-1) = 2^n*an; andando a sostituire si ha: 2^1*an*10^0 + 2^2*an*10^1 + ... + 2^n*an*10^(n-1) + an*10^n.

Ludovica ha detto...

Non può esserci un modo + semplice? Ad esempio, nn si può partire da 4, con poi tutto il numero e dividerlo x due, ma si ha lo stesso risultato + il 2 all'inizio ke ci resta...non si può partire da 3, perchè è un numero dispari, e alla fine del numero non c'è un 6, quindi non può arrivare alla fine. Si può iniziare dal 2 in giù. Si aggiungono tutte le metà e il gioco è fatto!

Anonimo ha detto...

quanto ho detto prima io è molto semplice: infatti scelto un qualsiasi an e un qualsiasi n naturali, si ottiene il numero cercato (certamente con alcune limitazioni, che però richiedono calcolo e non ho voglia di fare)

Anonimo ha detto...

no cioè ho sbagliato, poichè viene da un sistema, per ogni n naturale esiste un numero limitato di soluzioni naturali. il concetto però rimane simile.

Aquarius ha detto...

Per Ludovica, si può partire con la cifra che si vuole e trovare il risultato con il metodo delle divisioni successive, ecco tutte le soluzioni:
1 - 105263157894736842
2 - 210526315789473684
3 - 315789473684210526
4 - 421052631578947368
5 - 526315789473684210
6 - 631578947368421052
7 - 736842105263157894
8 - 842105263157894736
9 - 947368421052631578
ce ne sono molte altre ma con un numero di cifre maggiore.

Per l'Anonimo, non ho provato a risolvere il tuo sistema (anche perché so che per n<18 non ci sono soluzioni intere), quindi non ti posso dire se funzionerebbe, in realtà c'è un sistema molto più semplice, è una formuletta che si ricava con 4 o 5 passaggi matematici al massimo.

Aquarius ha detto...

Questo è il procedimento matematico di cui parlavo:

X è il numero cercato ed è intero
Y è la prima cifra del numero X
n è il numero di cifre di cui è composto X

deve valere

(X - Y * 10^(n-1))*10 + Y = X/2

10X - Y(10^n + 1) = X/2

20X - 2Y*(10^n + 1) = X

19X = 2Y*(10^n + 1)

X = (2Y/19)*(10^n - 1)

Se 2Y/19 è un numero periodico può essere espresso come rapporto tra un numero intero X pari alla parte periodica e un numero di n cifre composto da tutti 9 dove n è la lunghezza della parte periodica:

2Y/19 = X/(10^n - 1)

X è il numero cercato

per Y = 1 abbiamo

2/19 = 0,105263157894736842105263157894736842... (periodico)

X = 105263157894736842

andrea ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
andrea ha detto...

c'è un metodo ancora più semplice. infatti, invece di dividere ogni volta le cifre, si moltiplicano. per fare ciò, però, si deve partire dall'ultima cifra del numero e arrivare alla prima.

partiamo per esempio dalla cifra 4.
moltiplichiamo questa cifra per 2.

4x2=8
8x2=16
se il risultato di una moltiplicazione è a due cifre, nel numero si scrve solo quella delle unità - quindi in questo caso il 6 - e si aggiunge il riporto al risultato della moltiplicazione successiva.
continuando:
6x2=12+1(riporto)=13
3x2=6+1=7
7x2=14
4x2=8+1=9
9x2=18
8x2=16+1=17
7x2=14+1=15
5x2=10+1=11
1x2=2+1=3
3x2=6
6x2=12
2x2=4+1=5
5x2=10
0x2=0+1=1
1x2=2
stop!
infatti 2x2=4, ovvero la prima cifra del numero.

il risultato finale è:
210,526,315,789,473,684.

bye-bye!!!

andrea