venerdì, giugno 23, 2006

Acqua e vino

Un contadino decide di diluire il vino da lui prodotto con dell'acqua per frodare i suoi clienti (bell'accattone!), così apre il rubinetto e l'acqua inizia a entrare nella botte in partenza semipiena a una velocità di 5 litri al minuto. Tuttavia il distratto (oltre che imbroglione) contadino dimentica il rubinetto aperto e così l'acqua prima riempie completamente la botte (che ha una capienza totale di 100 litri) e poi la soluzione acqua/vino inizia a straripare dal bordo della botte a una velocità pari a quella con la cui nuova acqua entra nella botte.
Passata un'ora (a partire da quando l'acqua inizia a straripare dal bordo della botte) il contadino torna e chiude (bestemmiando, si presume) il rubinetto. Quanti litri di vino sono ora presenti nella botte?
Si considerino di influenza nulla tutti i fattori non esplicitamente dichiarati.

Attenzione, quest'enigma potrebbe provocare un forte mal di testa a chi non abbia una buone conoscenze di matematica :-P

29 commenti:

Ludovica ha detto...

5x100=500(litri d'acqua di cui deve essere riempita la botte). 500x60(minuti in un'ora)x5(velocità a cui l'acqua straripa)=150.000. Quindi io direi 150.000.

Tival ha detto...

La botte contiene sempre 100L... di acqua/vino di vino vero non ne contiene più.

phoenix-82 ha detto...

Dunque se ho capito bene dovremmo considerare solo la quantità di vino presente nella soluzione.Se è così il risultato dovrebbe essere 6.25 lt.Perchè se quando la botte è piena i lt di vino sono 50 questi dovrebbero dimezzarsi ogni 100lt.I lt versati in un'ora sono 300 per cui da 50 25 12.5 e 6.25.Ma potrei non aver capito niente!

Ludovica ha detto...

Tu hai scritto "litri di vino"..i litri sono sempre 100, no?

phoenix-82 ha detto...

Dici a me?

Ludovica ha detto...

No, a Walter. Ha scritto "Quanti sono i litri di vino nella botte?" e non "litri d'acqua nella botte". Dato che la capienza della botte è di 100 l, i litri di vino devono essere sempre 100...
@ Walter: Non mi è venuto nessun mal di testa...

phoenix-82 ha detto...
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phoenix-82 ha detto...

Ludovica credo che lui voglia sapere quanti litri di vino sono presenti nella soluzione acqua/vino.Ma la storia del mal di testa mi fa pensare che la mia soluzione sia sbagliata perchè troppo semplice.Chissà...

Aquarius ha detto...

Meno di 5 litri.

In questo problema manca un'informazione, non possiamo stabilire esattamente quanto vino rimane se non sappiamo quanto ce ne era in origine. A questo punto ci sono due possibili risposte: la prima è che nella botte ci sono 100 litri di vino diluito, la seconda è che nella botte rimane una certa parte di vino (non diluito) di quello che c’era in origine.
Se indichiamo con X i litri vino presenti nella botte in origine, sappiamo che il rapporto tra il vino e la botte piena è di X/100. Quando la botte comincia a straripare per ogni litro di acqua che entra ne esce uno di soluzione acqua/vino. Dando per buono che acqua e vino si miscelano in modo omogeneo, avremo, approssimando, che con il primo litro di soluzione escono X/100 di litro di vino e (100-X)/100 di acqua. Nella botte rimarranno X - X/100 = 99/100 di X litri di vino. Con il secondo litro di soluzione escono (99X/100)/100 litri di vino e nella botte rimangono ((99/100)^2)X litri di vino. Per ogni litro di acqua che entra possiamo calcolare il vino rimanente come ((99/100)^S)X dove S sono i litri di soluzione che escono. Sappiamo che in un’ora entrano 300 litri di acqua e S=200+X ne escono, quindi, con buona approssimazione, nella botte rimangono ((99/100)^(200+X))X. Si può dimostrare che la formula esatta, che tiene conto del fatto che lo straripamento è continuo e non un litro alla volta, è e^(-(200+X)/100), ma i risultati non sono molto differenti.
Esempi:
Botte piena a un quarto, rimangono 2,6 litri di vino.
Botte piena a metà, rimangono 4,1 litri di vino.
Botte piena a tre quarti, rimangono 4,8 litri di vino.
Botte piena per intero, rimangono 4,98 litri di vino.

Ludovica ha detto...

Secondo me non rimane nessun litro di vino, perchè l'acqua è di 150.000 litri, più grande di 140.000 litri della capienza della botte. Quindi, l'acqua straripata (30.000 litri, ovvero 500 litri dalla moltiplicazione 5x100 al minuto)dà questa sottrazione:150.000(litri d'acqua)-30.000(litri di acqua straripata)=12.000(litri di acqua nella botte). In questo enigma si chiede quanti sono i litri di vino. I 12.000 litri di acqua hanno eliminato tutti i litri di vino, per un totale di: vino 0 litri, acqua 100 litri(alcuni litri di quei 12.000 sono dovuti straripare perchè ci entrassero tutti).

Walter ha detto...

Cerco di rispondere a tutti:

@ludovica: non possono rimanere 150.000 litri di vino perchè quella quantità di vino non è mai esistita nella botte. Ovviamente la quantità di vino rimanente sarà minore di quella iniziale (50 litri, dato che ho parlato di botte semipiena).

@tival: non voglio sapere quanti litri di soluzione vinosa, ma quanti litri di vino sono ancora presenti. Anche se il vino è ora diluito si può comunque dire quanti litri ne sono presenti nella soluzione.

@phoenix: i tuoi assunti sono errati: quando la soluzione inizia a straripare esce dalla botte inizialmente vino misto ad acqua con rapporto 1:1, ma poi progressivamente esce sempre più acqua che vino. La tua soluzione non è corretta.

@Ludovica: no, non sono mai stati 100, quindi non è giusto. Probabilmente il mal di testa non ti è venuto perchè non hai trovato la soluzione corretta :D

@acquarius: Non manca alcun dato: ho detto che una botte di capienza 100l è inizialmente semipiena, dunque si capisce che ci sono 50l di vino.
I risultati che hai proposto non sono corretti. Riprova, sei quello che più di tutti sta capendo il meccanismo per trovare la soluzione.

phoenix-82 ha detto...

Walter ma il calcolo va fatto dopo ogni litro?O si può fare ogni 5?

Walter ha detto...

In realtà qualunque qualcolo discreto (ogni 5 litri, ogni litro, ogni centilitro, ogni millilitro e così via) darà sempre e solo risultati approssimati. Suppongo che facendo un calcolo ogni 5 litri l'errore non sia troppo grande, tuttavia la cosa migliore sarebbe fare un calcolo continuo, così da non avere affatto un errore. Diciamo che riterrò corretta una soluzione che non differisca da quella precisa per più di un millilitro.

phoenix-82 ha detto...

Ma esiste un'unica operazione che possa darmi la soluzione?

Ludovica ha detto...

Sono 90 litri...dato che il vino è di 50 l, e l'acqua scorre a 5 l al minuto, avremo 250 litri. 250-100(capienza della botte)=150. 150 l-60(minuti in un'ora)=90.

Walter ha detto...

Ma scusa se inizialmente ci sono 50 litri di vino com'è possibile che diventano 90 aggiungendo acqua? è evidente che hai frainteso qualcosa.

ps ho editato l'enigma per chiarire un passaggio poco chiaro in precedenza (il conteggio dell'ora parte da quando l'acqua inizia a straripare).

Aquarius ha detto...

2,489 litri ?

Walter ha detto...

Giusto! Posta magari una breve descrizione del procedimento che hai seguito per arrivare a questo risultato. Ciao e complimenti ;)

Aquarius ha detto...

Nel precedente post avevo interpretato male il quesito per cui mi mancavano due informazioni, quindi la mia soluzione era imprecisa. Il procedimento è però simile, lo ripeto qui semplificato.
Nella botte ci sono 50 litri di vino, quando la botte è piena ci sono 50 litri di vino e 50 di acqua (rapporto di 1 a 1). Da quando la soluzione acqua/vino comincia a straripare, inizialmente uscirà la stessa quantità di acqua e di vino e poi, man mano che l’acqua entra, la soluzione si diluisce ed esce sempre più acqua e sempre meno vino. Per semplicità facciamo un calcolo usando come unità il litro. Entra un litro di acqua esce un litro di soluzione al 50% cioè mezzo litro di acqua e mezzo di vino. Ora nella botte ci sono 49,5 litri di vino e 50,5 litri di acqua. Il rapporto della soluzione non è più 50/50 ma 495/505, ciò significa che quando entra il secondo litro ne esce uno di soluzione che è formato da 495 millilitri di vino e 505 millilitri di acqua e nella botte rimangono 49,005 litri di vino e 50,995 litri di acqua. Ora sappiamo che in un’ora vengono versati 300 litri di acqua e tanti ne escono di soluzione. Se ripetiamo il nostro calcolo per 300 volte il risultato è che nella botte rimangono 2,452 litri di vino (abbastanza vicino alla soluzione esatta di 2,489 litri). In realtà non dobbiamo fare 300 passaggi perché il calcolo discreto può essere espresso da una semplice formula: R = 50 x (0,99^300) = 2,452 (vi risparmio la dimostrazione). Veniamo ora al calcolo continuo, per ottenere un risultato più preciso dobbiamo usare unità di calcolo più piccole del litro, ad esempio il decilitro, il centilitro o il millilitro. Con i millilitri (se non volete fare 300.000 passaggi) la formula è R = 50 x (0.99999^300000) = 2.489316. Si può dimostrare che il limite del nostro calcolo discreto tende ad un’esponenziale descritta dalla formula: 50 x e^(-S/100) dove S è il numero di litri straripati, quindi R = 50 x e^(-3) = 2,489353

nicolò ha detto...

secondo me rimane il 12,5% di vino

nomade ha detto...

Condivido il risultato di nicolò, cioè 12.5 litri di vino. Nella botte infatti entrano 5*t litri d'acqua (dove t è il tempo in unità minuti) e ne escono proporzionalmente alla quantità presente, cioè (a(t)/100)*5*t (dove a(t) è la quantità d'acqua nella botte istantaneamente). Considerando che al tempo 0 ci sono 50 l di acqua, si potrà scrivere che

a(t) = 50 + 5*t - (a(t)/100)*5*t

cioè l'acqua presente è data dall'acqua iniziale più quella che entra meno quella che esce. Risolvendo l'equazione rispetto ad a(t) si ha che

a(t) = 100*(50+5*t)/(100+5*t)

La quantità di vino in ogni istante saranno 100 l meno la quantità di acqua nello stesso istante, ovvero

v(t) = 100 - a(t)

Dopo un'ora (t = 60) ottengo

v(60) = 100 - 87.5 = 12.5 l

Dove sbaglio???

nomade ha detto...

Condivido il risultato di nicolò, cioè 12.5 litri di vino. Nella botte infatti entrano 5*t litri d'acqua (dove t è il tempo in unità minuti) e ne escono proporzionalmente alla quantità presente, cioè (a(t)/100)*5*t (dove a(t) è la quantità d'acqua nella botte istantaneamente). Considerando che al tempo 0 ci sono 50 l di acqua, si potrà scrivere che

a(t) = 50 + 5*t - (a(t)/100)*5*t

cioè l'acqua presente è data dall'acqua iniziale più quella che entra meno quella che esce. Risolvendo l'equazione rispetto ad a(t) si ha che

a(t) = 100*(50+5*t)/(100+5*t)

La quantità di vino in ogni istante saranno 100 l meno la quantità di acqua nello stesso istante, ovvero

v(t) = 100 - a(t)

Dopo un'ora (t = 60) ottengo

v(60) = 100 - 87.5 = 12.5 l

Dove sbaglio???

Alessandro ha detto...

Sia v la quantità di vino presente nella botte, e dv/dt la velocità di fuoriuscita del vino dalla botte. Si ha che:
dv/dt=-(v/100)*5
e cioè che la velocità istantanea di uscita del vino dalla botte è pari e 5litri/secondo per la conventrazione del vino nella miscela. Il segno meno indica che il vino sta uscendo dalla botte. ora moltiplichiamo per dt e dividiamo per v entrambi i membri e otteniamo:
dv/v=-dt/20
integriamo entrambi i membri
[lnv]=-[t/20]
e inseriamo le condizioni al contorno, per t=0 v=50, per t=t1 v=v1 otteniamo:
[ln v] tra 50 e v1 = ln(v1)-ln(50) ossia ln(v1/50) e per il secondo membro
-t1/20+0/20=-t1/20
quindi si ha:
ln(v1/50)=-t1/20 che possiamo invertire ottenendo:
v1/50=e^(-t1/20) ossia
v1=50*e^(-t1/20)
poichè v1 è espresso in litri e t1 in minuti possiamo dire che t1=60 minuti e quindi:
v1=50*e^(-60/20)=50*e^(-3)=2,489353418....

miele ha detto...

è chiaro che per arrivare all'orlo ci vogliono 10 minuti (5x10=50).
Quindi poniamo il tempo zero a dieci minuti (per cui la soluzione sarà da cercare a t= 50m.

non resta che risolvere il problema di Cauchy:

v' = -5(v/100);
a' = -5(a/100) +5;
v (0)= 50;
a (0)= 50;

fabriziorozzo ha detto...

Blogger Ludovica ha detto...

5x100=500(litri d'acqua di cui deve essere riempita la botte). 500x60(minuti in un'ora)x5(velocità a cui l'acqua straripa)=150.000. Quindi io direi 150.000.

ma se ha detto che la botte contiene 100 litri cm fai t a dire ke ci sono 150.000 litri di vino????

kermit ha detto...

allora : la botte inizialmente è mezza piena solo di vino ! quindi sono 50litri di vino. l'acqua a 5 litri al minuto viene lasciata aperta x un ora dunque eroga 300litri d'acqua....dunque straripano 300litri di soluzione acqua-vino...pertanto essendo solo 50 i litri di vino iniziali, non rimane vino nella botte

kermit ha detto...

AQUARIUS HA SBAGLIATO : dopo ke straripa la botte entrano altri 300litri di acqua, il che presuppone ke escano 150 litri di vino ! che non esistono xkè all'inizio ce ne sono 50 ! il risultato è zero....perfavore walter puoi valutare ?

kermit ha detto...

mi correggo ha ragione acquarius sorry

Fabio Maisto ha detto...

Salve,
ho letto la soluzione di AQUARIUS e non sono bravo in matematica (oltre quella di base, elementare) ma l'ho capita, ma quindi, in teoria (e in pratica?) il vino uscendone sempre di meno, non finirebbe mai? Se la fontana è aperta per infinito tempo, quanto tempo occorre perché il vino finisca? In termini teorici/pratici?