giovedì, dicembre 22, 2005

La cupola

Celebro il fatto che ho dato l'esame di fisica proponendovi alcuni simpatici problemi :-)

Un corpo di grandezza trascurabile di una certa massa viene poggiato sulla sommità di una cupola sferica il cui raggio è ignoto. Essendo trascurabili gli attriti, a che punto della cupola il corpo si staccherà dalla stessa?

39 commenti:

L ha detto...

In teoria dovrebbe rimanere fermo sulla sommità della cupola... per cui non si stacca... :D

Walter ha detto...

Beh, non posso darti torto, ma non è questa la soluzione. Ammettiamo che sia poggiato "quasi" sulla sommità, ma impercettibilmente spostato in una direzione qualunque rispetto ad essa.

L ha detto...

Mi verrebbe da dire "dopo aver compiuto un arco corrispondente ad un'angolo di 90°", ma mi sembra troppo ovvia come risposta... :P

rubens_n10 ha detto...

io direi...nel punto in cui la forza peso è maggiore della forza centrifuga.

Walter ha detto...

Non si stacca a 90°, ma prima. Voglio l'angolo esatto, in gradi, primi e secondi.

rubens_n10 ha detto...

Buon Natale !

Anonimo ha detto...

Si stacca dopo un angolo di 45°...penso....mah???
Tival

Walter ha detto...

No, l'angolo non è di 45°

Anonimo ha detto...

Forse... di stacca appena inizia a muoversi...

PS: mi sono iscritta ma non riesco ad accedere.

Walter ha detto...

No, non si stacca subito.

Shannon99 ha detto...

Credo siano 30°....


Ciao,
Shannon99

Walter ha detto...

No, 30 non è la risposta esatta.

Anonimo ha detto...

22° e mezzo

la mia password continua a non funzionare...
Tival

Walter ha detto...

Che password?
PS la risposta non è corretta. Vi sconsiglio di buttare valori a caso, sarebbe ben difficile arrivarci così :D

kappei ha detto...

70 gradi ?

Tival ha detto...

Non ho spaato a caso, è la metà di 45°...

kappei ha detto...

89° 59' 59''

Anonimo ha detto...

penso poco prima di 45° però per scoprirlo con esattezza non saprei a cosa ricorrere

Anonimo ha detto...

Si stacca alla base della cupola dopo che è scivolato giù.

Anonimo ha detto...

Alla base della cupola.

Walter ha detto...

No, come ho già detto si stacca prima di arrivare alla base...

Anonimo ha detto...

Secondo me dopo circa 63 gradi (non ho la calcolatrice buona) come risultato dell'equazione en. cinetica >= en. potenziale e isolando l'angolo.... ma non ci metterei nemmeno un unghia sul fuoco. ciao

Walter ha detto...

No, non è la soluzione corretta.

cugini di campagna ha detto...

Ciao sono tornato da 2 mesi di vacanza

Anonimo ha detto...

Si staccherà nello stesso punto dov'è stato poggiato, Aloa Pier

Visconobius ha detto...

non ti so dire la riposta esatta...
però secondo me è un valore sicuramente compreso tra 0° e 30°.
sbaglio??

Shannon99 ha detto...

48°11'22,87''

Shannon99 ha detto...

Se la risposta è corretta il merito è ancora di Idiana Jones....

Tival ha detto...

Che precisione...Come lo hai calcolato?

Walter ha detto...

è giusto ;)

Anonimo ha detto...

ok ma se non ci spiegate perchè non vale!!!

rubens_n10 ha detto...

se si può sarebbe interessante sapere il procedimento...grazie.

Anonimo ha detto...

quando un corpo scende di quota senza attriti aprte della sua energia potenziale si trasforma in energia cinetica che è proporzionale al quadrato della velocità di caduta. nello stesso momentosi genera una forza centrifuga anch'essa proporzionale al quadrato della velocità di caduta. Per trovare l'angolo di distacco si imposta un semplice calcolo vettoriale imponendo che la risultante tra la forza peso e la forza centrifuga sia tangente alla superficie della cupola e il gioco è fatto. Detto così sembra complicato, ma il procedimento è molto più semplice di quanto possa sembrare. Comunque questi sono problemi da ingegneri, non rompicapo che tutti ragionando possono risolvere

Walter ha detto...

Verissimo, infatti sono stato un po' cattivello a postarlo, ma era un enigma celebrativo, tanto ero sicurissimo che qualcuno capace di farlo ci fosse :D
Cmq non esageriamo, più che preparazione da ingegneri direi che basta una buona preparazione liceale ;)

Anonimo ha detto...

con una buona preparazione liceale non ci arriverebbe il 99.9999%

gruppo ado ha detto...

Uffa! perchè a me viene 53 e spiccioli?...

gruppo ado ha detto...

OK!
come non detto, ho trovato l'errore!
avevo scambiato un coseno con un seno...

fa 48,spiccioli!!! è giusto!!

grAz ha detto...

Ehehe... a me non veniva perchè ho sempre avuto, stupidamente, una antipatia a pelle per l'approccio energetico ai problemi... che invece spesso ti salva visto che semplifica notevolmente problemi altrimenti molto complessi, come in questo caso!

Comunque, per non parlare di forza centrifuga, si può impostarlo così:
* sia § l'angolo a cui si trova l'oggetto sulla cupola (0 sulla sommità, 90° al bordo); sia r il raggio della cupola; sia m la massa dell'oggetto;
* l'energia potenziale (riferita alla base della cupola) è mg*r*cos§; l'energia cinetica 0.5*m*v^2. Fintanto che l'oggetto rimane attaccato alla cupola, v è la sua velocità tangenziale.

* la forza peso mg è sempre verticale, ma variando l'angolo § si scinde in due componenti, una centripeta (mg*cos§) e una tangenziale (mg*sin§).

* Per mantenere il corpo in moto circolare sulla superficie della cupola, è necessario che la forza centripeta si mantenga almeno pari a m*v^2/r (la forza in eccesso è tamponata dalla reazione vincolare della superficie della cupola).

* Quando scende sotto questo valore, la forza centripeta non è più sufficiente e il corpo si stacca dalla superficie della cupola. NOI DOBBIAMO QUINDI TROVARE QUEL § PER CUI SI VERIFICA Fc=Fc,min ovvero m*g*cos§=m*v^2/r, ovvero gcos§=v^2/r.

* Rimane da esprimere v in funzione di §, ed è qui che ci salva le chiappe l'approccio energetico (altrimenti è un delirio di integrali). Infatti, se inizialmente Etot=Ep=m*g*r, ad un generico angolo § sarà Ec+Ep=0.5*m*v^2+m*g*r*cos§=Etot=m*g*r
Risolvendo, abbiamo v^2=2*g*r*(1-cos§)

*Sostituendo nella condizione di distacco il valore di v^2 così ottenuto, è una semplice equazione goniometrica:
g*cos§=2*g*(1-cos§) -> cos§=2/3 -> §= arccos(2/3)=48.19° circa.

Fabio ha detto...

La forza centrifuga di cui si parlava nella soluzione dell'enigma in realtà è una forza fittizia perchè non è causata da nessun corpo. Essa viene introdotta perchè la somma delle forze deve annullarsi su un corpo in stato di equilibrio. Dato che infinitesimalmente il corpo, in questo caso la sfera, è fermo, la "forza" centrifuga viene rappresentata vettorialmente con lo stesso modulo e il senso opposto della forza centripeta. La forza centripeta permette di tenere un corpo su una traiettoria circolare esercitando un'attrazione perpendicolare alla velocità dello stesso. Di conseguenza, dato che forza centripeta e "forza" centrifuga hanno senso opposto, quest'ultima non può avere una direzione tangenziale alla cupola, bensì perpendicolare alla particella infinitesimale di superficie.