giovedì, giugno 24, 2010

Il contadino e la capra


Un contadino ha un terreno perfettamente circolare. Sul perimetro del terreno pianta un palo al quale lega la sua capretta.
La capra comincia a mangiare l'erba. Quanto deve essere lunga la corda affinché la capra mangi esattamente la metà dell'area del terreno?



Segnalato da Oliver

6 commenti:

grAz ha detto...

Beh,se A_campo=pi*R^2, la metà è A_campo/2=pi*(R^2)/2.
D'altronde l'area a portata della capra è A_capra=pi*(L_corda^2). Uguagliando A_capra=A_campo/2, si ha:
pi*(R^2)/2=pi*L_corda^2, quindi L_corda = Rad(2)/2* R

Quindi la corda dovrà essere lunga quanto radice di 2 mezzi (circa 0,72) per il raggio del campo.

Walter ha detto...

Il palo a cui è legata la capra non è piantato al centro del campo, ma sul suo perimetro.

Davi ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
Davi ha detto...

Indichiamo con R il raggio del terreno circolare, con A la lunghezza della corda e con 2a (in radianti) l'ampiezza angolare del settore circolare del terreno il cui arco di delimitazione è la parte della circonferenza nella quale la capra può brucare.
Procedendo sia con considerazini geometriche che che con l'aiuto degli integrali, arriviamo a scrivere l'equazione risolutiva del problema, che si presenta nella forma

2*a*cos(a) - 2*pi_greco*cos(a) - 2*sen(a) = pi_greco

Essa non è risolvibile manualmente (se non per tentativi), quindi tramite l'ausilio di strumenti elettronici troviamo che

a = 1,2358 rad (circa)

Dal procedimento ricaviamo che la relazione che lega a e A è

cos(a) = 1 - (A^2)/(2*R^2)

Sostituendo il valore di a ed esplicitando rispetto ad A otteniamo

A = 1,16*R (circa)

e cioè la lunghezza della corda in funzione del raggio del terreno.

Walter ha detto...

Complimenti a Davi, 5 punti per te :)

mmarango ha detto...

indichiamo con A la circonferenza del campo di erba, la cui area è Πr^2

indichiamo con B la circonfenza con centro su un punto del cerchio A (punto dove è fissato il palo) la cui area è ΠR^2

indichiamo con C l'area data dall'intersezione di A e B

Sappiamo che C=B-A (in quanto area risultante dall'intesezione delle due circonferenze)

Sappiamo che C=Πr^2/2 (come postulato dal problema: metà del campo)

Quindi C=ΠR^2-Πr^2 -> [C=B-A]

che diventa

Πr^2/2=ΠR^2-Πr^2

r^2=R^2-r^2

R^2=(3/2)r^2

R=sqrt(3/2)*r