venerdì, giugno 23, 2006

Acqua e vino

Un contadino decide di diluire il vino da lui prodotto con dell'acqua per frodare i suoi clienti (bell'accattone!), così apre il rubinetto e l'acqua inizia a entrare nella botte in partenza semipiena a una velocità di 5 litri al minuto. Tuttavia il distratto (oltre che imbroglione) contadino dimentica il rubinetto aperto e così l'acqua prima riempie completamente la botte (che ha una capienza totale di 100 litri) e poi la soluzione acqua/vino inizia a straripare dal bordo della botte a una velocità pari a quella con la cui nuova acqua entra nella botte.
Passata un'ora (a partire da quando l'acqua inizia a straripare dal bordo della botte) il contadino torna e chiude (bestemmiando, si presume) il rubinetto. Quanti litri di vino sono ora presenti nella botte?
Si considerino di influenza nulla tutti i fattori non esplicitamente dichiarati.

Attenzione, quest'enigma potrebbe provocare un forte mal di testa a chi non abbia una buone conoscenze di matematica :-P

14 commenti:

Anonimo ha detto...

La botte contiene sempre 100L... di acqua/vino di vino vero non ne contiene più.

Walter ha detto...

Cerco di rispondere a tutti:

@ludovica: non possono rimanere 150.000 litri di vino perchè quella quantità di vino non è mai esistita nella botte. Ovviamente la quantità di vino rimanente sarà minore di quella iniziale (50 litri, dato che ho parlato di botte semipiena).

@tival: non voglio sapere quanti litri di soluzione vinosa, ma quanti litri di vino sono ancora presenti. Anche se il vino è ora diluito si può comunque dire quanti litri ne sono presenti nella soluzione.

@phoenix: i tuoi assunti sono errati: quando la soluzione inizia a straripare esce dalla botte inizialmente vino misto ad acqua con rapporto 1:1, ma poi progressivamente esce sempre più acqua che vino. La tua soluzione non è corretta.

@Ludovica: no, non sono mai stati 100, quindi non è giusto. Probabilmente il mal di testa non ti è venuto perchè non hai trovato la soluzione corretta :D

@acquarius: Non manca alcun dato: ho detto che una botte di capienza 100l è inizialmente semipiena, dunque si capisce che ci sono 50l di vino.
I risultati che hai proposto non sono corretti. Riprova, sei quello che più di tutti sta capendo il meccanismo per trovare la soluzione.

Walter ha detto...

In realtà qualunque qualcolo discreto (ogni 5 litri, ogni litro, ogni centilitro, ogni millilitro e così via) darà sempre e solo risultati approssimati. Suppongo che facendo un calcolo ogni 5 litri l'errore non sia troppo grande, tuttavia la cosa migliore sarebbe fare un calcolo continuo, così da non avere affatto un errore. Diciamo che riterrò corretta una soluzione che non differisca da quella precisa per più di un millilitro.

Walter ha detto...

Ma scusa se inizialmente ci sono 50 litri di vino com'è possibile che diventano 90 aggiungendo acqua? è evidente che hai frainteso qualcosa.

ps ho editato l'enigma per chiarire un passaggio poco chiaro in precedenza (il conteggio dell'ora parte da quando l'acqua inizia a straripare).

Walter ha detto...

Giusto! Posta magari una breve descrizione del procedimento che hai seguito per arrivare a questo risultato. Ciao e complimenti ;)

nomade ha detto...

Condivido il risultato di nicolò, cioè 12.5 litri di vino. Nella botte infatti entrano 5*t litri d'acqua (dove t è il tempo in unità minuti) e ne escono proporzionalmente alla quantità presente, cioè (a(t)/100)*5*t (dove a(t) è la quantità d'acqua nella botte istantaneamente). Considerando che al tempo 0 ci sono 50 l di acqua, si potrà scrivere che

a(t) = 50 + 5*t - (a(t)/100)*5*t

cioè l'acqua presente è data dall'acqua iniziale più quella che entra meno quella che esce. Risolvendo l'equazione rispetto ad a(t) si ha che

a(t) = 100*(50+5*t)/(100+5*t)

La quantità di vino in ogni istante saranno 100 l meno la quantità di acqua nello stesso istante, ovvero

v(t) = 100 - a(t)

Dopo un'ora (t = 60) ottengo

v(60) = 100 - 87.5 = 12.5 l

Dove sbaglio???

nomade ha detto...

Condivido il risultato di nicolò, cioè 12.5 litri di vino. Nella botte infatti entrano 5*t litri d'acqua (dove t è il tempo in unità minuti) e ne escono proporzionalmente alla quantità presente, cioè (a(t)/100)*5*t (dove a(t) è la quantità d'acqua nella botte istantaneamente). Considerando che al tempo 0 ci sono 50 l di acqua, si potrà scrivere che

a(t) = 50 + 5*t - (a(t)/100)*5*t

cioè l'acqua presente è data dall'acqua iniziale più quella che entra meno quella che esce. Risolvendo l'equazione rispetto ad a(t) si ha che

a(t) = 100*(50+5*t)/(100+5*t)

La quantità di vino in ogni istante saranno 100 l meno la quantità di acqua nello stesso istante, ovvero

v(t) = 100 - a(t)

Dopo un'ora (t = 60) ottengo

v(60) = 100 - 87.5 = 12.5 l

Dove sbaglio???

Anonimo ha detto...

è chiaro che per arrivare all'orlo ci vogliono 10 minuti (5x10=50).
Quindi poniamo il tempo zero a dieci minuti (per cui la soluzione sarà da cercare a t= 50m.

non resta che risolvere il problema di Cauchy:

v' = -5(v/100);
a' = -5(a/100) +5;
v (0)= 50;
a (0)= 50;

fabriziorozzo@yahoo.it ha detto...

Blogger Ludovica ha detto...

5x100=500(litri d'acqua di cui deve essere riempita la botte). 500x60(minuti in un'ora)x5(velocità a cui l'acqua straripa)=150.000. Quindi io direi 150.000.

ma se ha detto che la botte contiene 100 litri cm fai t a dire ke ci sono 150.000 litri di vino????

kermit ha detto...

allora : la botte inizialmente è mezza piena solo di vino ! quindi sono 50litri di vino. l'acqua a 5 litri al minuto viene lasciata aperta x un ora dunque eroga 300litri d'acqua....dunque straripano 300litri di soluzione acqua-vino...pertanto essendo solo 50 i litri di vino iniziali, non rimane vino nella botte

kermit ha detto...

AQUARIUS HA SBAGLIATO : dopo ke straripa la botte entrano altri 300litri di acqua, il che presuppone ke escano 150 litri di vino ! che non esistono xkè all'inizio ce ne sono 50 ! il risultato è zero....perfavore walter puoi valutare ?

kermit ha detto...

mi correggo ha ragione acquarius sorry

Unknown ha detto...

Salve,
ho letto la soluzione di AQUARIUS e non sono bravo in matematica (oltre quella di base, elementare) ma l'ho capita, ma quindi, in teoria (e in pratica?) il vino uscendone sempre di meno, non finirebbe mai? Se la fontana è aperta per infinito tempo, quanto tempo occorre perché il vino finisca? In termini teorici/pratici?

Unknown ha detto...

Scusate ma secondo me la risposta è 12,5.. Praticamente 50 litri di vino vengono diluiti con 350 litri d' acqua, quindi in rapporto la quantità di vino è 1/8 rispetto al totale (400 litri) in questo modo anche dentro la botte avremmo 1/8 di vino, quindi 12,5 litri___Vector